% Dette er et eksempel på et LaTeX-dokument, og du kan bruke dette som et utgangspunkt for 
% din egen rapport. Hvis du bruker Windows, anbefaler jeg å bruke programmet PCTeX når du 
% arbeider med dokumentet. I UNIX fungerer Emacs best.
%
% Her i starten og videre nedover i teksten under har jeg lagt inn en god del linjer som starter med
% tegnet "%". Alt som kommer etter et slikt tegn på den linja er KOMMENTARER og vil ikke synes i den 
% ferdige teksten. Jeg bruker det for å forklare ting underveis. 

% Først må vi definere noen ting for dokumentet:
\documentclass[11pt, a4paper]{article} % Alternativ: {report}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{graphicx}       % For å inkludere figurer
\setcounter{secnumdepth}{0} % \section nummereres ikke

% Justeringer av defaultverdier for teksten på siden:
\setlength{\textheight}{240mm} 
\setlength{\textwidth}{150mm}  
\topmargin -5mm 
\oddsidemargin 5mm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% Rapportens tittel:
\title{Elektrostatisk kraft} 
\author{Halvor Lund, Anders Eide og Jørgen Avdal}
%\date{} % Brukes hvis du ønsker noe annet enn dagen i dag.

% Her ber vi LaTeX om å lage tittelen (til nå har vi bare sagt hva den skal inneholde):
\maketitle



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\abstract{
I vårt første forsøk i elektromagnetisme i år har vi gjennomført Coulombs eksperiment for å bestemme den elektriske
permittiviteten til luft. Prinsippet bak forsøket er å studere elektriske krefter mellom to ladninger ved hjelp av
en torsjonsvekt. Vi fikk et svar tett opp mot tabellverdien, men likevel utenfor våre beregnede feilgrenser. Den elektriske
permittiviteten i luft er $\epsilon_{luft} = 8.85 \cdot 10^{-11}  \rm C^2/Nm^2$, mens vi fikk $\epsilon = 9.33 \cdot 10^{-11}  \rm C^2/Nm^2$.
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Innledning}
I vårt første forsøk i elektromagnetisme i år har vi prøvd å gjenskape Coloumbs forsøk for å bestemme permittiviteten til luft.


\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{Symbolliste}
\label{Tabell1} 		  % Merkelappen jeg vil referere til.
\vspace{0.5cm}		  % Litt ekstra plass for å få det til å se penere ut
\begin{tabular}{lcr} 	  % Tre kolonner sentrert left, center og right
\hline 		   	  % Horisontal linje
Symbol  &  Forklaring  \\  % Merk symboler i italics,
\hline
$L$      &  Avstand fra speil til målestav \\
$d$      &  Lengden av armen til dynamisk kule  \\
$m$      &  Massen til loddet, brukt under kalibrering \\
$a$      &  Avstand fra torsjonstråd til lodd \\
$D$      &  Torsjonsstivheten til tråden \\
$r$      &  Avstand mellom sentre i kulene \\
$g$      &  Tyngdens akselerasjon\\
$\alpha$ &  Trådens vridningsvinkel med lodd \\
$V_{f}$  &  Indusert spenning på Faraday-buret fra kule \\
$C_{f}$	 &  Kapasitansen til Faraday-buret \\
$C$      &  Kulens kapasitans \\
$s$      &  Utslag på målestaven \\
$q_{0}$  &  Ladning på kulen fra høyspenningskanon\\
$\theta$ &  Torsjonstrådens vridningsvinkel \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Teori}

Alle gjenstander med ladning trekker på hverandre med en elektrisk kraft, som er gitt ved Coloumbs lov:

\begin {equation}
F =  \frac{q^2}{4\pi \epsilon r^2}
\label {Elkraft}
\end{equation}

Torsjonsstivheten til tråden er gitt ved

\begin{equation}
D = \frac{m g a}{\alpha}
\label{Torsjonsstivhet}
\end{equation}

Forholdet mellom kraften på kulen og utslaget er gitt ved

\begin{equation}
Fr = D\theta
\label{Kraftmoment}
\end{equation}

Kapasitansen i kula kan regnes ut ved hjelp av 

\begin{equation}
C=\frac{C_{f} V_{f}}{V}
\label{Kapasitans}
\end{equation}



% Legg merke til at alle symbolene i ligningen står i kursiv. Bokstaver vil alltid stå i 
% kursiv når vi er i "math mode". I et tekstavsnitt kan vi stille om til math mode ved å bruke
% dollartegn "$" som jeg har gjort for tyngdeakselerasjonen i avsnittet over.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Metode og apparatur}


%
\begin{figure}[h] %[h]=here [t]=top [b]=bottom [p]=separat side
\begin{center}
% Det sikreste i Latex er å importere grafikk som .eps
% En metode å lage eps-figur fra grafer i Excel er forklart helt til bunn i denne teksten (PgDn).
%
\includegraphics[width=7cm,height=9cm]{cavendishoppsett.eps}  % Putter inn eps-fila
%     Skalering valgfritt. Hvis du angir bare en av width eller height beholdes originalfigurens proporsjoner (anbefales).
%\vspace{6cm}   % Hvis du heller skal lime inn figur som papirkopi, sett av ledig vertikalt rom.
\caption{Oppsett for vårt Coloumb-forsøk. Figuren er misvisende fordi L $\gg$ S.}
\label{Apparatur} % Som med ligningen, er dette navnet vi refererer til.
\end{center}
\end{figure}


I forsøket vårt har vi to kuler med ladning $q_{0}$. Den ene er festet til torsjonstråden, mens den andre er plassert
i avstand $r$ fra den første kulen. Den elektrostatiske kraften mellom de to kulene får torsjonstråden til å vri seg, 
og vridningen kan leses av på målestaven som vist i figur \ref{Apparatur}. Ved hjelp av dette fant vi kraften på kula
som funksjon av avstand og ladning, og deretter fastslo vi den elektriske permittiviteten til lufta på laben.

\clearpage

På figur \ref{Apparatur} kan vi sette:

\begin{equation}
\theta = \frac{\theta_{1} + \theta_{2}}{2}
\label{clara}
\end{equation}

Da ser vi at:

\begin{equation}
\tan 2\theta = \frac{S}{L}
\label{daniel}
\end{equation}

Dessuten har vi:

\begin{equation}
\lim_{x \rightarrow 0}  \textrm{tan}\, x \approx x
\label{erik}
\end{equation}

Ved å slå disse sammen med formlene over får vi:

\begin{equation}
C = \pi^2 \frac{Sb^2r}{T^2LM}
\label{arne}
\end{equation}

Feilmarginen til G er gitt ved:

\begin{equation}
\frac{\Delta G}{G} = \sqrt{\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2 + \left(2\frac{\Delta b}{b}\right)^2 +
\left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2 + \left(2\frac{\Delta T}{T}\right)^2 + \left(\frac{\Delta M}{M}\right)^2 +
\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2} \\
\label{per}
\end{equation}




%\clearpage % Bruk denne kommandoen dersom du vil ha ny side etter det er satt plass til figuren.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Resultat og diskusjon}

%
% Denne kan være litt vanskelig å forstå, men hvis du 
% studerer eksempelet nøye, blir det forhåpentligvis litt klarere.
%
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{Våre resultater}
\label{Tabell1} 	% Merkelappen jeg vil referere til.
\vspace{0.5cm}		% Litt ekstra plass for å få det til å se penere ut
\begin{tabular}{lccr} 	% Tre kolonner sentrert left, center og right
\hline 			% Horisontal linje
Symbol  &  Måleverdi & Enhet & Relativ feil  \\  % Merk symboler i italics,
\hline
$M$    &  $(1500,2 \pm 0,1)$ & g & $6,66 \cdot 10^{-5}$  \\
$b$    &  $(47,4 \pm 0,2)$ & mm & $1,06 \cdot 10^{-3}$   \\
$L$    &  $(245,5 \pm 1,0)$ & cm & $4,07 \cdot 10^{-3}$   \\
$r$    &  $(50,0 \pm 0,1)$ & mm & $1,06 \cdot 10^{-3}$  \\
$T$    &  $(595 \pm 10)$ & s & $8,40 \cdot 10^{-3}$ \\
$S$    &  $(9,0 \pm 0,2)$ & cm & $2,22 \cdot 10^{-2}$ \\
$G$    &  $(7,64 \cdot 10^{-11}) \pm 1,91 \cdot 10^{-12})$ & $\rm Nm^2/kg^2$ & $2,50 \cdot 10^{-2}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
% Litt ekstra forklaring av tabellen til slutt
% Du skiller altså kolonnene med tegnet "&", og du setter inn linjeskift med "\\".
% De horisontale linjene er plassert ifølge standarden du etterhvert bør ha begynt å bli vant til.


Viser til Tabell \ref{Tabell1} for våre verdier og resultater.

Vår verdi for G er 14,5 \% større enn tabellverdien, mens vår feilmargin bare er på 4,1 \%.
Dette tyder på at systematiske og tilfeldige feil under forsøket har hatt noe å si. Slike
feil kan for eksempel vere uforutsette temperaturendringer, rystelser, ukalibrerte måleapparat eller
feil i modellene vi bruker.

Vi kan også observere at hver av de to store kulene i dette forsøket vil trekke på begge kulene, ikke
bare den nærmeste, noe som vil føre til at verdien vår blir ca. 7 \% for liten. Dette vil gjøre vår verdi enda
større i forhold til tabellverdien.

Vi har også observert at temperatursvingninger i rommet har mye å si for resultatene våre. Dersom torsjonspendelen
blir kjølt ned, vil torsjonsstivheten bli større, og likevektspunktet vil forflytte seg.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\clearpage


\begin{figure}[h] %[h]=here [t]=top [b]=bottom [p]=separat side
\begin{center}
% Det sikreste i Latex er å importere grafikk som .eps
% En metode å lage eps-figur fra grafer i Excel er forklart helt til bunn i denne teksten (PgDn).
%
\includegraphics[width=7cm,height=5cm]{figur2.eps}  % Putter inn eps-fila
%     Skalering valgfritt. Hvis du angir bare en av width eller height beholdes originalfigurens proporsjoner (anbefales).
%\vspace{6cm}   % Hvis du heller skal lime inn figur som papirkopi, sett av ledig vertikalt rom.
\caption{Svingeutslag som funksjon av tiden}
\label{erik} % Som med ligningen, er dette navnet vi refererer til.
\end{center}
\end{figure}


\section{Konklusjon}
Vi klarte å få en tilnærming til gravitasjonskonstanten, men fordi forsøket ikke ble gjort under ideelle forhold,
og det underveis er gjort systematiske feil, har vi fått en verdi som avviker for mye. De systematiske feilene er
uavhengige av hvor mange ganger forsøket blir gjort, andre feilkilder hadde blitt mindre betydningsfulle med flere
gjentakelser.


\end{document}
%--------------------------------------------------------------------
% Det sikreste i Latex er å importere grafikk som .eps eller .ps. eps-format av grafer i Excel lager kan du lage som følger:
%
% 1. Høyreklikk figuren din i Excel. Velg Plassering -> Som nytt ark "Figur 1"
% 2. Velg arket med figuren, og trykk Forhåndsvisning.
% 3. Trykk Oppsett og velg: Side->Stående, Marger->Venstre:4,Høyre:4 og Diagram->Tilpass til side. Trykk OK->Lukk
% 4. Juster tekststørrelsene slik at all tekst blir tydelig lesbar i 100% visning.
%     (Jeg foreslår 16pkt for aksetitler og 12pkt for skala og forklaringsnøkler)
% 5. Velg Skriv ut->Navn: Acrobat Destiller, Velg Egenskaper->Adobe PDF Settings->Conversion Settings->Press. Ok->Ok->"figur1.pdf"
% 6. Vent til figuren automatisk åpnes i Adobe Acrobat.
% 7. Velg Crop verktøyet (ikonet ser ut som to rette vinkler) og velg et området som akkurat inneholder figuren. Trykk Crop ikonet en gang til, og velg OK.
% 8. Velg Save as. Bla deg fram til hjemmekatalogen din, og lagre "figur1.eps" (sjekk at filformatet Encapsulated Postscript (*.eps) er valgt)
